1/(x^3+a^3)の不定積分を求めてみた。

By | 2019年7月31日 , Last update: 2019年8月11日

はじめに

Twitterのタイムラインを眺めていたところ、$\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+1}$を計算していたツイートが目に入ったので、それをちょいと一般化して、

\begin{align}
I &= \displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+a^3}\label{eq:xcubeint}
\end{align}

(ただし、$a \gt 0$とする。)という式を考え、計算してみることにしました。

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部分分数展開

最初に(\ref{eq:xcubeint})式右辺の被積分関数について、原始関数が求めやすい形に変形することを考えます。

(\ref{eq:xcubeint})式右辺の被積分関数を部分分数展開すると、

\begin{align}
\frac{1}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left( \frac{1}{x+a} – \frac{x-2a}{x^2-ax+a^2}\right)\label{eq:pfdfirst}
\end{align}

となります(詳細についてはこちら参照。)が、さらに(\ref{eq:pfdfirst})式の右辺第2項を、
\begin{align}
\frac{1}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left( \frac{1}{x+a} – \frac{x-\dfrac{a}{2}}{x^2-ax+a^2} + \frac{3a}{2}\frac{1}{x^2-ax+a^2}\right) \label{eq:pfdsecond}
\end{align}

と変形します。

各項ごとに変形します。

(\ref{eq:pfdsecond})式の右辺の括弧内の各項の不定積分を項別に求めます。

第1項及び第2項

(\ref{eq:pfdsecond})式の右辺第1項は、

\begin{align}
\int \frac{dx}{x+a} &= \log\left|x+a\right|+C \label{eq:pfdint_atfirst}
\end{align}

となります($C$は積分定数です)。

また、(\ref{eq:pfdsecond})式の右辺第2項は、

\begin{align}
{\LARGE\int}\frac{x-\dfrac{a}{2}}{x^2-ax+a^2}dx &= \frac{1}{2}\int\frac{2x-a}{x^2-ax+a^2}dx \nonumber\cr
&= \frac{1}{2}\int\frac{(x^2-ax+a^2)^{\prime}}{x^2-ax+a^2}dx \nonumber\cr
&= \frac{1}{2}\log\left|x^2-ax+a^2\right|+C \label{eq:pfdint_atsecond}
\end{align}

となります。

第3項

(\ref{eq:pfdsecond})式の右辺第3項は、第1項及び第2項とは異なる方法で計算します。

\begin{align}
\frac{1}{x^2-ax+a^2} &= \frac{1}{\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2} \label{eq:square}
\end{align}

と変形できますので、
\begin{align}
x &= \frac{\sqrt{3}}{2}a\tan\theta + \displaystyle\frac{a}{2} \label{eq:xtheta}
\end{align}

とおくと、$\displaystyle\frac{dx}{d\theta} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}$であることから、
\begin{align}
{\Large\int}\frac{1}{\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2}dx &= {\Large\int}\frac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\tan\theta + \dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= {\Large\int}\frac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\tan\theta\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2}\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= {\Large\int}\frac{1}{\dfrac{3}{4}a^2\tan^2\theta+\dfrac{3}{4}a^2}\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= {\Large\int}\frac{1}{\dfrac{3}{4}a^2\dfrac{1}{\cos^2\theta}}\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= \int\frac{2}{\sqrt{3}a}d\theta \nonumber\cr
&= \frac{2}{\sqrt{3}a}\theta + C \label{eq:third}
\end{align}

になります。

一方、(\ref{eq:xtheta})式を$\theta$について解くと、

\begin{align}
\theta &= \arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right] \label{eq:thetasolution}
\end{align}

になりますので、これを(\ref{eq:third})式に代入すると、
\begin{align}
\frac{2}{\sqrt{3}a}\theta + C &= \frac{2}{\sqrt{3}a}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right] + C \label{eq:pfdint_atthird}
\end{align}

となります。

最終結果

(\ref{eq:pfdint_atfirst})、(\ref{eq:pfdint_atsecond})及び(\ref{eq:pfdint_atthird})の各式を(\ref{eq:pfdsecond})式に代入すると…

\begin{align}
\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left[ \log\left|x+a\right| – \frac{1}{2}\log\left|x^2-ax+a^2\right|\right. \nonumber\cr
&{} + \left.\frac{3a}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}a}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right]\right] + C \nonumber\cr
&= \frac{1}{3a^2}\left[ \log\left|x+a\right| – \frac{1}{2}\log\left|x^2-ax+a^2\right|\right. \nonumber\cr
&{} + \left.\sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right]\right] + C \label{eq:fa}
\end{align}

というなかなか複雑な式になりますが、$a \gt 0$かつ$x \in {\mathbb R}$であれば、(\ref{eq:fa})式の右辺第2項をちょいと変形して第1項とくっつけて、
\begin{align}
\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left[ \log\left|\frac{x+a}{\sqrt{x^2-ax+a^2}}\right| + \sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right]\right] + C\label{eq:fasecond}
\end{align}

と書いても罰は当たらないのではないかと思います。$\blacksquare$

$a = 1$の場合

(\ref{eq:fa})式及び(\ref{eq:fasecond})式に$a=1$を代入すると以下のようになります。

\begin{align}
\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+1} &= \frac{1}{3}\left[ \log\left|x+1\right| – \frac{1}{2}\log\left|x^2-x+1\right|+\sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]\right] + C\nonumber\cr
&= \frac{1}{3}\left[ \log\left|\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}\right| + \sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]\right] + C \label{eq:aequalsone}
\end{align}

ちょっとだけ簡単な式になったんじゃないかと思います。(`・ω・´)

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まとめ

不定積分の結果にはlogや逆正接関数(arctan)が登場する上に、$f(x) = \displaystyle\frac{1}{x^3+a^3} (a \gt 0)$のグラフもいまいちきれいな形ではないために、面積を計算する機会もあまりないというちょっと不遇な感じもする関数ですが、時々思い出してやっていただけると幸いです。(´・ω・`)

この記事は以上です。