はじめに
Twitterのタイムラインを眺めていたところ、$\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+1}$を計算していたツイートが目に入ったので、それをちょいと一般化して、
\begin{align}
I &= \displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+a^3}\label{eq:xcubeint}
\end{align}
I &= \displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+a^3}\label{eq:xcubeint}
\end{align}
(ただし、$a \gt 0$とする。)という式を考え、計算してみることにしました。
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部分分数展開
最初に(\ref{eq:xcubeint})式右辺の被積分関数について、原始関数が求めやすい形に変形することを考えます。
(\ref{eq:xcubeint})式右辺の被積分関数を部分分数展開すると、
\begin{align}
\frac{1}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left( \frac{1}{x+a} – \frac{x-2a}{x^2-ax+a^2}\right)\label{eq:pfdfirst}
\end{align}
\frac{1}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left( \frac{1}{x+a} – \frac{x-2a}{x^2-ax+a^2}\right)\label{eq:pfdfirst}
\end{align}
となります(詳細についてはこちら参照。)が、さらに(\ref{eq:pfdfirst})式の右辺第2項を、
\begin{align}
\frac{1}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left( \frac{1}{x+a} – \frac{x-\dfrac{a}{2}}{x^2-ax+a^2} + \frac{3a}{2}\frac{1}{x^2-ax+a^2}\right) \label{eq:pfdsecond}
\end{align}
\frac{1}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left( \frac{1}{x+a} – \frac{x-\dfrac{a}{2}}{x^2-ax+a^2} + \frac{3a}{2}\frac{1}{x^2-ax+a^2}\right) \label{eq:pfdsecond}
\end{align}
と変形します。
各項ごとに変形します。
(\ref{eq:pfdsecond})式の右辺の括弧内の各項の不定積分を項別に求めます。
第1項及び第2項
(\ref{eq:pfdsecond})式の右辺第1項は、
\begin{align}
\int \frac{dx}{x+a} &= \log\left|x+a\right|+C \label{eq:pfdint_atfirst}
\end{align}
\int \frac{dx}{x+a} &= \log\left|x+a\right|+C \label{eq:pfdint_atfirst}
\end{align}
となります($C$は積分定数です)。
また、(\ref{eq:pfdsecond})式の右辺第2項は、
\begin{align}
{\LARGE\int}\frac{x-\dfrac{a}{2}}{x^2-ax+a^2}dx &= \frac{1}{2}\int\frac{2x-a}{x^2-ax+a^2}dx \nonumber\cr
&= \frac{1}{2}\int\frac{(x^2-ax+a^2)^{\prime}}{x^2-ax+a^2}dx \nonumber\cr
&= \frac{1}{2}\log\left|x^2-ax+a^2\right|+C \label{eq:pfdint_atsecond}
\end{align}
{\LARGE\int}\frac{x-\dfrac{a}{2}}{x^2-ax+a^2}dx &= \frac{1}{2}\int\frac{2x-a}{x^2-ax+a^2}dx \nonumber\cr
&= \frac{1}{2}\int\frac{(x^2-ax+a^2)^{\prime}}{x^2-ax+a^2}dx \nonumber\cr
&= \frac{1}{2}\log\left|x^2-ax+a^2\right|+C \label{eq:pfdint_atsecond}
\end{align}
となります。
第3項
(\ref{eq:pfdsecond})式の右辺第3項は、第1項及び第2項とは異なる方法で計算します。
\begin{align}
\frac{1}{x^2-ax+a^2} &= \frac{1}{\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2} \label{eq:square}
\end{align}
\frac{1}{x^2-ax+a^2} &= \frac{1}{\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2} \label{eq:square}
\end{align}
と変形できますので、
\begin{align}
x &= \frac{\sqrt{3}}{2}a\tan\theta + \displaystyle\frac{a}{2} \label{eq:xtheta}
\end{align}
x &= \frac{\sqrt{3}}{2}a\tan\theta + \displaystyle\frac{a}{2} \label{eq:xtheta}
\end{align}
とおくと、$\displaystyle\frac{dx}{d\theta} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}$であることから、
\begin{align}
{\Large\int}\frac{1}{\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2}dx &= {\Large\int}\frac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\tan\theta + \dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= {\Large\int}\frac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\tan\theta\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2}\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= {\Large\int}\frac{1}{\dfrac{3}{4}a^2\tan^2\theta+\dfrac{3}{4}a^2}\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= {\Large\int}\frac{1}{\dfrac{3}{4}a^2\dfrac{1}{\cos^2\theta}}\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= \int\frac{2}{\sqrt{3}a}d\theta \nonumber\cr
&= \frac{2}{\sqrt{3}a}\theta + C \label{eq:third}
\end{align}
{\Large\int}\frac{1}{\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2}dx &= {\Large\int}\frac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\tan\theta + \dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= {\Large\int}\frac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\tan\theta\right)^2+\dfrac{3}{4}a^2}\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= {\Large\int}\frac{1}{\dfrac{3}{4}a^2\tan^2\theta+\dfrac{3}{4}a^2}\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= {\Large\int}\frac{1}{\dfrac{3}{4}a^2\dfrac{1}{\cos^2\theta}}\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \nonumber\cr
&= \int\frac{2}{\sqrt{3}a}d\theta \nonumber\cr
&= \frac{2}{\sqrt{3}a}\theta + C \label{eq:third}
\end{align}
になります。
一方、(\ref{eq:xtheta})式を$\theta$について解くと、
\begin{align}
\theta &= \arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right] \label{eq:thetasolution}
\end{align}
\theta &= \arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right] \label{eq:thetasolution}
\end{align}
になりますので、これを(\ref{eq:third})式に代入すると、
\begin{align}
\frac{2}{\sqrt{3}a}\theta + C &= \frac{2}{\sqrt{3}a}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right] + C \label{eq:pfdint_atthird}
\end{align}
\frac{2}{\sqrt{3}a}\theta + C &= \frac{2}{\sqrt{3}a}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right] + C \label{eq:pfdint_atthird}
\end{align}
となります。
最終結果
(\ref{eq:pfdint_atfirst})、(\ref{eq:pfdint_atsecond})及び(\ref{eq:pfdint_atthird})の各式を(\ref{eq:pfdsecond})式に代入すると…
\begin{align}
\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left[ \log\left|x+a\right| – \frac{1}{2}\log\left|x^2-ax+a^2\right|\right. \nonumber\cr
&{} + \left.\frac{3a}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}a}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right]\right] + C \nonumber\cr
&= \frac{1}{3a^2}\left[ \log\left|x+a\right| – \frac{1}{2}\log\left|x^2-ax+a^2\right|\right. \nonumber\cr
&{} + \left.\sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right]\right] + C \label{eq:fa}
\end{align}
\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left[ \log\left|x+a\right| – \frac{1}{2}\log\left|x^2-ax+a^2\right|\right. \nonumber\cr
&{} + \left.\frac{3a}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}a}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right]\right] + C \nonumber\cr
&= \frac{1}{3a^2}\left[ \log\left|x+a\right| – \frac{1}{2}\log\left|x^2-ax+a^2\right|\right. \nonumber\cr
&{} + \left.\sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right]\right] + C \label{eq:fa}
\end{align}
というなかなか複雑な式になりますが、$a \gt 0$かつ$x \in {\mathbb R}$であれば、(\ref{eq:fa})式の右辺第2項をちょいと変形して第1項とくっつけて、
\begin{align}
\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left[ \log\left|\frac{x+a}{\sqrt{x^2-ax+a^2}}\right| + \sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right]\right] + C\label{eq:fasecond}
\end{align}
\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left[ \log\left|\frac{x+a}{\sqrt{x^2-ax+a^2}}\right| + \sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}a}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right]\right] + C\label{eq:fasecond}
\end{align}
と書いても罰は当たらないのではないかと思います。$\blacksquare$
$a = 1$の場合
(\ref{eq:fa})式及び(\ref{eq:fasecond})式に$a=1$を代入すると以下のようになります。
\begin{align}
\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+1} &= \frac{1}{3}\left[ \log\left|x+1\right| – \frac{1}{2}\log\left|x^2-x+1\right|+\sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]\right] + C\nonumber\cr
&= \frac{1}{3}\left[ \log\left|\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}\right| + \sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]\right] + C \label{eq:aequalsone}
\end{align}
\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+1} &= \frac{1}{3}\left[ \log\left|x+1\right| – \frac{1}{2}\log\left|x^2-x+1\right|+\sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]\right] + C\nonumber\cr
&= \frac{1}{3}\left[ \log\left|\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}\right| + \sqrt{3}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]\right] + C \label{eq:aequalsone}
\end{align}
ちょっとだけ簡単な式になったんじゃないかと思います。(｀・ω・´)
まとめ
不定積分の結果にはlogや逆正接関数(arctan)が登場する上に、$f(x) = \displaystyle\frac{1}{x^3+a^3} (a \gt 0)$のグラフもいまいちきれいな形ではないために、面積を計算する機会もあまりないというちょっと不遇な感じもする関数ですが、時々思い出してやっていただけると幸いです。(´・ω・｀)
この記事は以上です。
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