整数次数の第2種変形Bessel関数の級数表現を計算してみた。

By | 2019年3月2日 , Last update: 2022年8月7日
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はじめに

ちょっと前の記事で、確率密度関数が標準正規分布に従う2個の確率変数の積が従う確率密度関数を計算してみたところ、第2種変形Bessel関数が積分表示で出現した件について書きました。

Bessel関数といえば特殊関数としてはかなりの有名どころで、積分表示の他にもいろいろな表示方法があり、級数表現もあります。

ただ、

「第2種」

それも

「変形」

ということになると、相当な曲者感が漂います。数学や物理を専門にしているならまだしも、統計の勉強をしている最中にこんな関数が現れるとかなり面食らうものがあります。

話を本題に戻します。

先述のちょっと前の記事では、0次の第2種変形Bessel関数が登場しましたので、この記事では扱う範囲をちょっとだけ広げて整数次の第2種変形Bessel関数の級数表現について(式変形などをあまり省略しないで)計算してみることにしました。

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スタート地点の設定。

「計算する」とはいうものの、この記事では$\mu$次の第1種変形Bessel関数$I_{\mu}(x)$が以下の(\ref{eq:mbff})式で表されることは既知とすることにします。

\begin{align}
I_{\mu}(x) &= \left(\frac{x}{2}\right)^{\mu}\sum_{p=0}^{\infty}\frac{1}{p!\Gamma(\mu + p + 1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \label{eq:mbff}
\end{align}

第1種変形Bessel関数から第2種変形Bessel関数を求める。

第2種変形Bessel関数の定義。

もののWikipediaによりますと、第2種変形Bessel関数$J_{\mu}(x)$は(\ref{eq:mbfs})式のように定義されます。

\begin{align}
J_{\mu}(x) &= \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\mu}(x)-I_{\mu}(x)}{\sin(\mu\pi)} \label{eq:mbfs}
\end{align}

整数次の場合ですと$\mu$が整数になりますから、少なくとも分母が0になりそうです。また、分子も$\mu$が整数のときには0になります(これについては別途計算してみました。この記事参照)。そこで、$\mu$が整数の場合には$\mu$がその整数へ近づくときの極限として第2種変形Bessel関数を定義します。すなわち(\ref{eq:mbfsint})式のように定義します。

\begin{align}
J_{\mu}(x) &= \lim_{k \to \mu} \frac{\pi}{2} \frac{I_{-k}(x)-I_{k}(x)}{\sin(k\pi)} \label{eq:mbfsint}
\end{align}

計算の方針。

(\ref{eq:mbfsint})式の極限をそのまま計算するのは分母に$\sin$とかが現れたりしていてかなり繁雑そうなので、もう少し簡単に計算できないか考えてみます。


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分母は三角関数ですから、それを$k$で微分した結果得られる関数$\pi\cos(k\pi)$は$k \in \left(\mu-\displaystyle\frac{1}{2},\mu+\displaystyle\frac{1}{2}\right)$であれば$\pi\cos(k\pi) \ne 0$であり、

\begin{align}
\lim_{k \to \mu} \left[I_{-k}(x)-I_{k}(x)\right] &= 0 \label{eq:numerator} \cr
\lim_{k \to \mu} \sin(k\pi) &= 0 \label{eq:denominator}
\end{align}

ですから、(\ref{eq:numerator})式を$k$で微分した式を(\ref{eq:denominator})式を$k$で微分した式で割った結果得られる関数$\eta(k)$(なんだかよくわからないので、とりあえずこのように置きます。)の変数$k$が$\mu$に近づくときの極限値が存在すれば、その値が(\ref{eq:mbfsint})式の極限値に等しくなります(ロピタルの定理)。

したがって、$\eta(k)$を計算すれば整数次数の第2種変形Bessel関数が求まることになります。

計算してみます。

分母の微分の極限

最初に簡単な方から計算します。

分母の微分した結果得られる関数の$k$が$\mu$に近づくときの極限値は$\mu$が整数であることに着目すると、以下のように計算できます。

\begin{align}
\lim_{k \to \mu}\frac{d}{dk}\sin(k\pi) &= \lim_{k \to \mu}\pi\cos(k\pi) \nonumber \cr
&= (-1)^{\mu}\pi \label{eq:mbfsintdenominator}
\end{align}

分子の微分の極限

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次に分子の微分の極限を計算します。

最初は1項ずつ微分します。

ただ分母と比べると少々どころか、かなり繁雑なので、最初は$I_{-k}(x)$の部分と$I_{-k}(x)$の部分とに分けて微分します。

まず、$I_{-k}(x)$を$k$で微分します。すると、以下のように計算できます。

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial k} I_{-k}(x) &= -I_{-k}(x) \log\frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^{-k} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\Gamma^{\prime}(-k+p+1)}{p!\left[\Gamma(-k+p+1)\right]^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \label{eq:partialfirst}
\end{align}


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(\ref{eq:partialfirst})式には$\Gamma$関数の微分なんていうものや$\Gamma$関数の自乗という少々扱いにくそうなものが登場しますが、これは、

\begin{align}
\psi(z) &= \frac{d}{dz}\log\Gamma(z) \nonumber \cr
&= \frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\label{eq:digamma}
\end{align}

で定義されるディガンマ関数$\psi(z)$を使うと、以下のように変形できます。
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial k} I_{-k}(x) &= -I_{-k}(x) \log\frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^{-k} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(-k+p+1)}{p!\Gamma(-k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \label{eq:partialfirstdigamma}
\end{align}

$\Gamma$関数の微分や自乗の項が消えて、少しすっきりした感じになりました。🐼

ここまでの議論と同様の流れで$I_{k}(x)$も$k$で微分することができて、

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial k} I_{k}(x) &= I_{k}(x) \log\frac{x}{2} – \left(\frac{x}{2}\right)^{k} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(k+p+1)}{p!\Gamma(k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \label{eq:partialseconddigamma}
\end{align}

と計算できます。

分子の極限値を求めます。

(\ref{eq:partialfirstdigamma})式及び(\ref{eq:partialseconddigamma})式をまとめて、$k$が$\mu$に近づく時の極限値を求めてみます。

まず、単純に(\ref{eq:partialfirstdigamma})式及び(\ref{eq:partialseconddigamma})式の右辺並びに左辺どうしを引いて、$k$が$\mu$に近づく時の極限をとると(\ref{eq:mbfsintnumeratorfirst})式のように書けます。

\begin{align}
\lim_{k \to \mu} \frac{\partial}{\partial k} \left[I_{-k}(x) – I_{k}(x)\right] &= \lim_{k \to \mu} \left[ -I_{-k}(x) \log\frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^{-k} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(-k+p+1)}{p!\Gamma(-k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \right. \nonumber \cr
&{} \left. – I_{k}(x) \log\frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^{k} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(k+p+1)}{p!\Gamma(k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \right] \label{eq:mbfsintnumeratorfirst}
\end{align}

(\ref{eq:mbfsintnumeratorfirst})式の括弧の中の右辺の第1項及び第3項は$\mu$が整数のときにはこの記事の計算結果より$I_{-\mu}(x) = I_{\mu}(x)$になります。そこで、(\ref{eq:mbfsintnumeratorfirst})式の括弧の中の右辺の第1項及び第3項をまとめると…

\begin{align}
\lim_{k \to \mu} \frac{\partial}{\partial k} \left[I_{-k}(x) – I_{k}(x)\right] &= -2I_{\mu}(x) \log\frac{x}{2} \nonumber \cr
&{} + \lim_{k \to \mu} \left[ \left(\frac{x}{2}\right)^{-k} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(-k+p+1)}{p!\Gamma(-k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \right. \nonumber \cr
&{} \left. + \left(\frac{x}{2}\right)^{k} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(k+p+1)}{p!\Gamma(k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \right] \label{eq:mbfsintnumeratorsecond}
\end{align}

となります(まとめた部分は先に極限値を求めたことにしてしまいました)。

$|k-\mu|$が十分に小さいとき、(\ref{eq:mbfsintnumeratorsecond})式右辺の$\lim$の中に残っている項のうち、最初の項の無限級数の最初の$\mu$項($p = 0 \cdots \mu-1$)については分母にいる$\Gamma$関数及びディガンマ関数の引数が正でない整数に近づくものがあります($\mu=0$の場合に限り、分母にいる$\Gamma$関数及びディガンマ関数の引数が正でない整数に近づくものがありませんが、この場合については後述します)。

以下のような感じのイメージです↓


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そこで、

\begin{align}
\left(\frac{x}{2}\right)^{-k} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(-k+p+1)}{p!\Gamma(-k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} &= \left(\frac{x}{2}\right)^{-k} \sum_{p=0}^{\mu-1} \frac{\psi(-k+p+1)}{p!\Gamma(-k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\nonumber \cr
&{} + \left(\frac{x}{2}\right)^{-k} \sum_{p=\mu}^{\infty} \frac{\psi(-k+p+1)}{p!\Gamma(-k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \label{eq:iminusk}
\end{align}

のように分割してから$k$が$\mu$に近づく時の極限をとると、(\ref{eq:iminusk})式の右辺第1項についてはこの記事で示した式
\begin{align}
\lim_{z \to -n}\frac{\psi(z)}{\Gamma(z)} &= (-1)^{n-1}(z) \label{eq:digammagamma}
\end{align}

が使えます。

また、(\ref{eq:iminusk})式の右辺第2項については$p$を$p+\mu$に置き換えると、無限級数で使用している変数の開始位置を0に移動することができますので、$k$が$\mu$に近づく時の極限は以下のように計算できます。

\begin{align}
\lim_{k \to \mu} \left[ \left(\frac{x}{2}\right)^{-k} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(-k+p+1)}{p!\Gamma(-k+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \right] &= \left(\frac{x}{2}\right)^{-\mu} \sum_{p=0}^{\mu-1} \frac{(-1)^{\mu-p}(\mu-p-1)!}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\nonumber \cr
&{} + \left(\frac{x}{2}\right)^{-\mu} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(p+1)}{(p+\mu)!\Gamma(p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2(p+\mu)} \nonumber \cr
&= \left(\frac{x}{2}\right)^{-\mu} \sum_{p=0}^{\mu-1} \frac{(-1)^{\mu-p}(\mu-p-1)!}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\nonumber \cr
&{} + \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(p+1)}{(p+\mu)!\Gamma(p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p+\mu} \label{eq:iminusksecond}
\end{align}

全体の極限値を求めます。

…というわけで、(\ref{eq:mbfsintdenominator}),(\ref{eq:mbfsintnumeratorsecond})及び(\ref{eq:iminusksecond})式をまとめると、

\begin{align}
\lim_{k \to \mu}\frac{\pi}{2} \frac{\displaystyle\frac{\partial}{\partial k}\left[I_{-k}(x) – I_{k}(x)\right]}{\displaystyle\frac{d}{dk}\sin(k\pi)} &= \frac{\pi}{2\cdot(-1)^{\mu}\cdot\pi} \left[ -2I_{\mu}(x) \log\frac{x}{2} \right. \nonumber \cr
&{} + \left(\frac{x}{2}\right)^{-\mu} \sum_{p=0}^{\mu-1} \frac{(-1)^{\mu-p}(\mu-p-1)!}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \nonumber \cr
&{} + \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(p+1)}{(p+\mu)!\Gamma(p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p+\mu} \nonumber \cr
&{} \left. + \left(\frac{x}{2}\right)^{\mu} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(\mu+p+1)}{p!\Gamma(\mu+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \right] \nonumber \cr
&= \frac{(-1)^{\mu}}{2} \left[ -2I_{\mu}(x) \log\frac{x}{2} \right. \nonumber \cr
&{} + \left(\frac{x}{2}\right)^{-\mu} \sum_{p=0}^{\mu-1} \frac{(-1)^{\mu-p}(\mu-p-1)!}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \nonumber \cr
&{} + \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(p+1)}{(p+\mu)!\Gamma(p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p+\mu} \nonumber \cr
&{} \left. + \left(\frac{x}{2}\right)^{\mu} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(\mu+p+1)}{p!\Gamma(\mu+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \right]
\label{eq:combined}
\end{align}

となって、極限が存在しそうな感じの式になります。(\ref{eq:combined})式をもう少しまとめることができないか考えてみます。

(\ref{eq:combined})式の右辺は極限をとったあとの値であり、$\Gamma$関数の引数はすべて正の整数ですので、階乗の形で表すことができそうです。また、(\ref{eq:combined})式の右辺の第3項及び第4項については$x$の冪のところが似た形になっていますので、もしかするとまとめることができるかもしれません。

実際に計算してみると…

\begin{align}
\lim_{k \to \mu}\frac{\pi}{2} \frac{\displaystyle\frac{\partial}{\partial k}\left[I_{-k}(x) – I_{k}(x)\right]}{\displaystyle\frac{d}{dk}\sin(k\pi)} &=
(-1)^{\mu+1}I_{\mu}(x) \log\frac{x}{2} \nonumber \cr
&{} + \frac{(-1)^{\mu}}{2} \left[ \left(\frac{x}{2}\right)^{-\mu} \sum_{p=0}^{\mu-1} \frac{(-1)^{\mu-p}(\mu-p-1)!}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \right. \nonumber \cr
&{} + \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(p+1)}{(p+\mu)!p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p+\mu} \nonumber \cr
&{} \left. + \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(\mu+p+1)}{p!(\mu+p)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p+\mu} \right] \nonumber \cr
&= (-1)^{\mu+1}I_{\mu}(x) \log\frac{x}{2} \nonumber \cr
&{} + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-\mu} \sum_{p=0}^{\mu-1} \frac{(-1)^p(\mu-p-1)!}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \nonumber \cr
&{} + \frac{1}{2} \left(-\frac{x}{2}\right)^{\mu} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\psi(p+1)+\psi(\mu+p+1)}{(p+\mu)!p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \label{eq:combinedandcalc}
\end{align}

という感じでまとめることができます($(-1)^{a} = (-1)^{-a}$であることは特に明記せずに使っています)。

なお、(\ref{eq:combinedandcalc})式の右辺第3項が収束するのかどうかが気になるところですが、収束します(証明についてはこちらに書きました(panda大学習帳外伝のページです))。

したがって、(\ref{eq:combinedandcalc})式の右辺は収束するので、その値がそのまま$\mu$次の第2種変形Bessel関数$J_{\mu}(x)$の級数表現になります。

$\mu = 0$の場合には、(\ref{eq:iminusk})式の右辺第1項は現れないので、(\ref{eq:iminusk})式の右辺第1項を変形した結果得られる(\ref{eq:combinedandcalc})式の右辺第2項は存在しません。よって、$\mu = 0$の場合には、第2種変形Bessel関数$J_{\mu}(x)$の級数表現は以下のように表されます。

\begin{align}
J_0(x) &= -I_0(x)\log\frac{x}{2} + \sum_{p=0}^{\infty}\frac{\psi(p+1)}{(p!)^2}\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^{2p} \label{eq:zerothorder}
\end{align}

(\ref{eq:combinedandcalc})式の右辺及び(\ref{eq:zerothorder})式が0次の場合も含めた整数次数($\mu$次)の第2種変形Bessel関数$J_{\mu}(x)$の級数表現になります。$\qquad\blacksquare$

まとめ

(\ref{eq:combinedandcalc})式の右辺及び(\ref{eq:zerothorder})式のどちらも$\log$が登場したりディガンマ関数が登場したり、挙句の果てには第1種変形Bessel関数が登場したりとかなり賑やかな級数展開の式となっていますが、正の数を引数とするディガンマ関数は比較的簡単に数値計算ができますので、第1種変形Bessel関数が計算できれば計算機での実装ができそうな雰囲気は醸し出していると思います(※個人の感想です)。

結果的にはこの記事とこの記事が壮大な(本Webサイト比)の前フリになっていたことになります。特にこの記事では$\Gamma$関数を含む関数の極限について書きましたが、これを単独で示されても一体何の役に立つのだろう的な第一印象を持たれることになりがちです。ここまでの計算を見ていただくと、計算機での実装ができそうな式への変形の途中で登場して、計算式を簡略化するのに役立っていることが理解していただけるかと思います。

Bessel関数はMATLABやBoostやApache Commons MathやSciPy、さらにはExcelの関数としても実装されていますが、背景を理解していないと使いにくい関数でもありますので、背景が知りたくなった時にこの記事をチラ見していただけるといいじゃないかなと思います。🐼

この記事は以上です。

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