ζ(2)の計算結果を使ってζ(4)を計算してみた。

はじめに

ゼータ関数のうち、は

(1)

と表すことができます。

この結果を使っての計算ができないか考えてみることにしました。

ζ(2)を計算する

最初にをフーリエ変換を使って求めます。

とりあえず、( $2$ )式の関数を考えます。

(2)

( $2$ )式をフーリエ展開すると、( $2$ )式は偶関数であることから、

(3)

ただし、

(4)

となりますので、( $4$ )式の右辺を計算します。

n > 0の場合

の場合は、( $4$ )式の右辺は部分積分を使って計算します。

すると…

(5) (6)

と計算できます。なお、( $5$ )式の計算にはが整数の時にになることを、( $6$ )式の計算にはが整数の時にになることをそれぞれ利用しています。

n = 0の場合

の場合は( $4$ )式は、

(7)

と計算できます。

仕上げ

( $6$ )式及び( $7$ )式を( $3$ )式に代入すると…

(8)

となります。

ここで、( $8$ )式にを代入すると、になりますので、

(9)

と計算できます。

( $9$ )式の右辺はに等しいので…

(10)

と計算できます。

よって、( $10$ )式の両辺を4で割ると、

(11)

となることが示せます。

ζ(4)を計算する

の計算ができたところで、この記事の本題であるの計算に移ります。

まず、( $12$ )式の関数を考えます。

(12)

(

12

)式をフーリエ展開すると、(

12

)式は偶関数であることから、

(13)

ただし、

(14)

となりますので、( $14$ )式の右辺を計算します。

n > 0の場合

の場合と同様に、の場合は、( $14$ )式の右辺は部分積分を使って計算します。

( $14$ )式の積分の被積分関数にが含まれているので計算量が多くなりそうですが、頑張って計算していきます。

すると…

(15)

ここで、( $4$ )式及び( $6$ )式より、

(16)

であることがわかるので、(

16

)式を(

15

)式に代入して…

(17)

と計算できます。

n = 0の場合

の場合は( $14$ )式は、

(18)

と計算できます。

仕上げ

( $17$ )式及び( $18$ )式を( $13$ )式に代入すると、は

(19)

とフーリエ級数展開できます。

( $19$ )式でとすると、ですので…

(20)

と計算できます。

( $20$ )式の右辺第2項は( $11$ )式の結果を利用することで、

(21)

となります。

( $21$ )式の右辺はに等しいことから…

(22)

であることがわかりますので、(

22

)式の両辺を48で割ると…

(23)

となり、

であることがわかります。

まとめ

が偶数の場合のについては漸化式があるとWikipediaに書いてあったので、の計算結果を使うとの計算ができるのではないかと考えたのですが、なんとか計算できました。

また、の計算の途中で得られた式を使うことによって部分積分の計算を一部省略することができました。部分積分の計算は間違えやすい上に計算量が削減できますので、助かりますね。

この記事は以上です。

はじめに

ζ(2)を計算する

n > 0の場合

n = 0の場合

仕上げ

ζ(4)を計算する

n > 0の場合

n = 0の場合

仕上げ

まとめ

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