|x|>1の場合のArctan(x)の多項式展開

はじめに

のときのの多項式展開の式はよく見かけるのですが、の時の展開式はあまり見かける機会がありません。

そこで、計算してみることにしました。

Inkscape 1.3を使ってのグラフを描くと…

のように描くことができます(の範囲のみ描いています)。

なぜの時の展開式を考えるのかというと、のマクローリン展開の式

(1)

の右辺の式の収束半径が1なので、

のときには(

1

)式を直接利用することができないためです。

そこで、いったん

(2)

のように置いてみます。

( $2$ )式より、ということになるので、さらにとおいて、について解いてみます。

すると、はを用いて、

(3)

と表せるので、

(4)

となります。

であることに留意しつつ、( $4$ )式をについて解くと…

(5)

と解くことができます。

ならばなので、( $5$ )式の右辺第2項は( $1$ )式を利用して…

(6)

と計算できます。

ここまでの内容が理解できれば、急に街中でを計算しなければならなくなった場合でも安心です。

のときにはが成り立つことも覚えておくとなお良いと思います。

ところで、Arctanっての数式環境では

{\rm Arctan}

よりもエレガントな書き方ってないのかな… といつも思うのですが、ないものなのですかね… (´･ω･`)

この記事は以上です。